For example, if the expression is 5xy³+3 then the degree is 1+3 = 4. To find the degree of the polynomial, you should find the largest exponent in the polynomial. First, write down all the degree values for each expression in the polynomial. For example, assume the polynomial expression is x^3+x^2+2x+5, now find out the degree of the polynomial. 3x ⋅ − 3 = −9x. Next, multiply 5, by each term in the second group. 5 ⋅ 2x = 10x. 5 ⋅ −3 = − 15. Hence (3x +5)(2x −3) = 6x2 − 9x + 10x −15. = 6x2 + x − 15. Answer link. 6x^2+x-15 (3x+5) (2x-3) Starting with 3x, multiply 3x by each term in the second group 3x * 2x = 6x^2 3x * -3 = -9x Next, multiply 5, by each term in the 3 x + 2 y = 5, 2 x − 3 y = 7. Q. On comparing the ratios a 1 a 2 , b 1 b 2 and c 1 c 2 , find out whether the following pair of linear equations are consistent, or inconsistent The answer is B. 2,4,8,16,32 True or False: 1. The product of two natural numbers is always a natural number. 2. The sum of two natural numbers is always a natural number. 3. The ratio of two natural numbers is always positive 4. The quotient of two natural numbers is always a rational number 5. . Ta metoda polega na dodawaniu równań stronami, w sytuacji gdy przy tej samej niewiadomej w dwóch równaniach mamy przeciwne współczynniki. Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników: \[ \begin{cases} x+2y=8\\ 2x-y=1 \end{cases} \]Na początku drugie równanie pomnożymy stronami przez \(2\): \[ \begin{cases} x+2y=8\\ 4x-2y=2 \end{cases} \] Dzięki temu, przy niewiadomej \(y\) otrzymaliśmy przeciwne współczynniki (w pierwszym równaniu \(2\), a w drugim \(-2\)). Możemy teraz dodać równania stronami, otrzymując równanie: \[\begin{split} x+4x+2y-2y&=8+2\\[6pt] 5x&=10\\[6pt] x&=2 \end{split}\] Teraz z dowolnego równania (np. \(x+2y=8\)) wyliczamy \(y\), podstawiając pod \(x\) znaną wartość: \[ \begin{split} 2+2y&=8\\[6pt] 2y&=6\\[6pt] y&=3 \end{split} \] Czyli rozwiązaniem układu równań jest para liczb: \[\begin{cases} x=2\\ y=3 \end{cases} \] Rozwiąż układ równań \(\begin{cases} x+3y=5\\ 2x-y=3 \end{cases} \).\(\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases} \) Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta. Żeby narysować wykres funkcji liniowej, wystarczy wyznaczyć dwa punkty, które do niego należą. Narysuj wykres funkcji liniowej \(y=x+3\). Obliczamy współrzędne dwóch dowolnych punktów przez które przechodzi nasza prosta. Dla \(x=0\) mamy: \[y=0+3=3\] Czyli do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych \((0,3)\). Dla \(x=1\) mamy: \[y=1+3=4\] Czyli do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych \((1,4)\). Teraz możemy zaznaczyć punkty w układzie współrzędnych i narysować prostą: Narysuj wykres funkcji liniowej \(y=2x-1\). Obliczamy współrzędne dwóch dowolnych punktów przez które przechodzi nasza prosta. Dla \(x=0\) mamy: \[y=2\cdot 0-1=0-1=-1\] Czyli do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych \((0,-1)\). Dla \(x=1\) mamy: \[y=2\cdot 1-1=2-1=1\] Czyli do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych \((1,1)\). Teraz możemy zaznaczyć punkty na wykresie i narysować prostą: Narysuj wykres funkcji liniowej \(y=-\frac{1}{3}x-2\). Obliczamy współrzędne dwóch dowolnych punktów przez które przechodzi nasza prosta. Dla \(x=0\) mamy: \[y=-\frac{1}{3}\cdot 0-2=0-2=-2\] Czyli do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych \((0,-2)\). Dla \(x=3\) mamy: \[y=-\frac{1}{3}\cdot 3-2=-1-2=-3\] Czyli do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych \((3,-3)\). Teraz możemy zaznaczyć punkty w układzie współrzędnych i narysować prostą: Na filmie pokazuję praktyczną metodę na szybkie rysowanie dokładnych wykresów funkcji nagrania: 13 min. Kiedy funkcja liniowa jest rosnąca, a kiedy malejąca? Weźmy funkcję liniową: \[y=ax+b\] gdzie: \(a\) - to współczynnik kierunkowy, \(b\) - to wyraz wolny. Wówczas: jeżeli \(a \gt 0\), to funkcja liniowa jest rosnąca, jeżeli \(a \lt 0\), to funkcja liniowa jest malejąca, jeżeli \(a = 0\), to funkcja liniowa jest stała. Ponadto wyraz wolny \(b\), to punkt przecięcia funkcji liniowej z osią \(Oy\). Na powyższym rysunku prosta jest rosnąca, czyli \(a \gt 0\). Miejsce zerowe Miejsce zerowe funkcji liniowej można obliczyć przyrównując wzór funkcji do zera: \[ax+b=0\] Z powyższego równania wynika wzór: \[x=-\frac{b}{a}\] Proste równoległe i prostopadłe Dwie proste o równaniach \[\begin{split} &y=a_1x+b_1\\[6pt] &y=a_2x+b_2 \end{split}\] są równoległe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe są równe, czyli: \[a_1=a_2\] są prostopadłe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe spełniają zależność: \[a_1\cdot a_2=-1\] Więcej materiałów o prostych równoległych i prostopadłych znajdziesz w rozdziale: Proste równoległe i prostopadłe. Solution: Given, the polynomial is 4x² + 5√2x - 3. We have to find the relation between the coefficients and zeros of the polynomial Let 4x² + 5√2x - 3 = 0 On factoring, = 4x² + 6√2x - √2x - 3 = 2√2x(√2x + 3) - (√2x + 3) = (2√2x - 1)(√2x + 3) Now, 2√2x - 1 = 0 2√2x = 1 x = 1/2√2 Also, √2x + 3 = 0 √2x = -3 x = -3/√2 Therefore,the zeros of the polynomial are 1/2√2 and -3/√2. We know that, if 𝛼 and ꞵ are the zeroes of a polynomial ax² + bx + c, then Sum of the roots is 𝛼 + ꞵ = -coefficient of x/coefficient of x² = -b/a Product of the roots is 𝛼ꞵ = constant term/coefficient of x² = c/a From the given polynomial, coefficient of x = 5√2 Coefficient of x² = 4 Constant term = -3 Sum of the roots: LHS: 𝛼 + ꞵ = 1/2√2 - 3/√2 = (1-6)/2√2 = -5/2√2 = -5√2/4 RHS: -coefficient of x/coefficient of x² = -5√2/4 LHS = RHS Product of the roots LHS: 𝛼ꞵ = (-3/√2)(1/2√2) = -3/4 RHS: constant term/coefficient of x² = -3/4 LHS = RHS Therefore, the zeroes of the polynomial are -3/√2 and 1/2√2. The relation between the coefficients and zeros of the polynomial are, Sum of the roots = -b/a = -5√2/4, Product of the roots = c/a = -¾. ✦ Try This: Find the zeroes of the polynomial 4x² + 3√2x - 8, and verify the relation between the coefficients and the zeroes of the polynomial ☛ Also Check: NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 NCERT Exemplar Class 10 Maths Exercise Problem 6 4x² + 5√2x - 3. Find the zeroes of the polynomial, and verify the relation between the coefficients and the zeroes of the polynomial Summary: The zeroes of the polynomial 4x² + 5√2x - 3 are -3/√2 and 1/2√2. The relation between the coefficients and zeros of the polynomial are, Sum of the roots = -b/a = -5√2/4, Product of the roots = c/a = -¾ ☛ Related Questions: v² + 4√3v - 15. Find the zeroes of the polynomial, and verify the relation between the coefficients . . . . y² + (3√5/2)y - 5. Find the zeroes of the polynomial, and verify the relation between the coefficien . . . . 7y² - (11/3)y - (2/3). Find the zeroes of the polynomial , and verify the relation between the coeff . . . . Wskaż równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do prostej o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\). A.\( y=3x \) B.\( y=-3x \) C.\( y=3x+2 \) D.\( y=\frac{1}{3}x+2 \) AProsta \(l\) ma równanie \(y = -7x + 2\). Równanie prostej prostopadłej do \(l\) i przechodzącej przez punkt \(P = (0, 1)\) ma postać A.\( y=7x-1 \) B.\( y=7x+1 \) C.\( y=\frac{1}{7}x+1 \) D.\( y=\frac{1}{7}x-1 \) CPunkt \(A=(0,5)\) leży na prostej \(k\) prostopadłej do prostej o równaniu \(y = x + 1\). Prosta \(k\) ma równanie A.\( y=x+5 \) B.\( y=-x+5 \) C.\( y=x-5 \) D.\( y=-x-5 \) BNapisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu \(-3x+y-4=0\) i przechodzącej przez punkt \(P=(-1,-4)\).\(y=3x-1\)Prosta \(k\) ma równanie \(y=2x-3\). Wskaż równanie prostej \(l\) równoległej do prostej \(k\) i przechodzącej przez punkt \(D\) o współrzędnych \((-2,1)\). A.\( y=-2x+3 \) B.\( y=2x+1 \) C.\( y=2x+5 \) D.\( y=-x+1 \) CProstą prostopadłą do prostej \( y=\frac{1}{2}x-1 \) i przechodzącą przez punkt \( A=(1,1) \) opisuje równanie A.\(y=2x-1 \) B.\(y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} \) C.\(y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} \) D.\(y=-2x+3 \) DDana jest prosta \(l\) o równaniu \(y=-\frac{2}{5}x\). Prosta \(k\) równoległa do prostej \(l\) i przecinająca oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych \((0,3)\) ma równanie A.\( y=-0{,}4x+3 \) B.\( y=-0{,}4x-3 \) C.\( y=2{,}5x+3 \) D.\( y=2{,}5x-3 \) A

y 5 2x 3